Considerazioni matematiche sul forno a scatola

 

Piccolo Forno Solare a Scatola realizzato a partire dal cartone della pizza

Piccolo Forno Solare a Scatola realizzato a partire dal cartone della pizza (fonte immagine flickr, licenza CC BY-SA 2.0 ).

In questa pagina cercheremo di capire come i vari elementi che compongono un forno a scatola contribuiscano alle sue prestazioni complessive, soprattutto per quel che riguarda la temperatura massima raggiunta e il tempo richiesto per raggiungerla.

Le informazioni riportate, sono in parte frutto di nostri calcoli e considerazioni, in parte sono tratte da

– “guida per costruire forni solari” capitolo 9, “Qualche calcolo”, a cura di Gianni Crovatto;

“technology of solar cooking”, a cura di Ed Pejack, del Solar Cookers International Network;

Per una descrizione di tipo più qualitativo sui fenomeni alla base del funzionamento dei forni solari a scatola, si consiglia di leggere la pagina “Forno Solare a Scatola – Principio di Funzionamento e Caratteristiche Essenziali”.

“Whistle and Action” Adam Selzer (http://freemusicarchive.org/)  Licensed under Creative Commons: By Attribution 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/

IN CONCLUSIONE…

Per i meno amanti della teoria e della matematica, riportiamo subito quelle che sono le considerazioni conclusive che possiamo fare con riferimento alla temperatura massima e al tempo necessario per raggiungerla in un forno a scatola, in relazione alle proprietà dei suoi componenti.

Temperatura massima: per ottimizzare la temperatura massima ottenibile con il nostro forno a scatola, possiamo aggiungere dei pannelli riflettenti sopra il vetro di copertura, utilizzare un doppio vetro e isolare quanto più possibile pareti e fondo. Calcoli teorici (tuttora da verificare, cercheremo di dimostrarlo quanto prima) dicono che un buon isolante dello spessore di 20 cm può permettere al forno di raggiungere temperature anche di 245 °C! Al proposito, il “Telkes design” raggiunge i 225 °C e osservando le foto è verosimile che non sia ottimizzato quanto a isolamento delle pareti. Per finire, ricordate che il cartone inizia a bruciare a 160 ° C (alcuni bruciano a 180°, altri a 230…) e che se ponete un recipiente pieno d’acqua dentro al forno, la temperatura non supererà quella di ebollizione, perché prima di aumentare ancora dovremo spendere energia per fare evaporare tutta l’acqua e sarà operativamente difficile superare i 100 ° C.

Tempo necessario per raggiungere la temperatura massima: in realtà, non è possibile raggiungere la temperatura massima in un tempo finito. Possiamo però avvicinarci ad essa dopo breve tempo. Infatti, si può dimostrare che, in assenza di disturbi esterni che possono essere rappresentati dal vento e da un’improvvisa copertura nuvolosa, è possibile raggiungere il 95% della temperatura massima nel giro di circa 2 minuti e mezzo nel caso di forno vuoto. Se volete sapere il tempo richiesto per aumentare la temperatura del cibo, lasciamo a voi i calcoli, le istruzioni sono in fondo alla pagina!

TEMPERATURA MASSIMA

La temperatura massima è la temperatura che raggiunge il forno in condizioni di equilibrio, ovverosia quando l’energia solare in entrata, attenuata dall’attraversamento del vetro di copertura, viene eguagliata dall’energia uscente per dispersione dalle pareti e dal fondo del forno e dal vetro di copertura medesimo.

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Bilancio energetico del forno solare a scatola in condizioni di equilibrio.

 

TEMPO PER RAGGIUNGERE LA TEMPERATURA MASSIMA

Ma come si raggiunge la temperatura massima?

Le condizioni di equilibrio si raggiungono dopo un periodo transitorio, durante il quale la temperatura interna del forno aumenta secondo un andamento pressoché esponenziale.

All’aumentare della temperatura, aumentano le dispersioni dalle pareti, dal fondo e dal vetro di copertura del forno, fino a che queste non eguagliano l’energia entrante dovuta al sole, dopo che ha attraversato il vetro del forno solare. A questo punto la temperatura interna non aumenterà più: è stata raggiunta la temperatura di equilibrio.

Andamento esponenziale della temperatura all'interno del forno solare a scatola. Si noti la rapida fase iniziale, succeduta dalla lenta fase finale di crescita della temperatura.

Andamento esponenziale della temperatura all’interno del forno solare a scatola. Si noti la rapida fase iniziale, succeduta dalla lenta fase finale di crescita della temperatura (immagine tratta da Ed Pejack, “Technology of Solar Cooking”).

 

ALCUNI CALCOLI UTILI – LA TEMPERATURA MASSIMA

E’ possibile dimostrare che la temperatura massima raggiungibile è calcolabile attraverso la seguente equazione:

Tmax = Tin + W*R/(k1 * S)

dove

Tmax = temperatura massima all’interno del forno;

Tin = temperatura iniziale a cui si trova l’interno del forno, che possiamo considerare pari alla temperatura ambiente;

W = potenza dissipata dal forno, pari alla potenza entrante dovuta alla radiazione solare, dopo che ha attraversato il vetro di copertura;

R = resistenza termica complessiva, risultante dalla resistenza termica delle pareti, del fondo e del vetro di copertura del forno;

k1 = coefficiente trasformazione, trasforma kcal/h in W = 1,162;

S = superficie complessiva equivalente del forno, che dipende dalla superficie delle pareti laterali, dalla superficie del fondo del forno e dalla superficie del vetro di copertura, pesate in funzione della loro resistenza termica;

Non vogliamo qui addentrarci nel calcolo della resistenza termica complessiva, come di quella della superficie complessiva equivalente, che in realtà condensano al loro interno tutta una serie di calcoli in parte non semplici. Ci limiteremo piuttosto a fare alcune osservazioni utili per comprendere come poter intervenire per aumentare le prestazioni del nostro forno.

Il ruolo della temperatura iniziale o temperatura ambiente (Tin). E’ evidente come la temperatura ambiente giochi un ruolo non trascurabile nel determinare la temperatura massima raggiungibile.

Se andiamo a graficare la curva Tmax = f (W), abbiamo che questa è rappresentata da una retta che taglia l’asse delle ordinate nel punto Tmax=Tin, ad indicare che,  se non ci sono apporti di energia da parte del sole, la temperatura interna del forno eguaglia quella dell’ambiente esterno. Ciò non è trascurabile, perché le maggiori temperature nei mesi estivi incidono almeno di 15° C – 20 ° C sulla temperatura massima finale rispetto alla situazione invernale.

Rappresentazione delle curve Tmax = f(W) = Tin+ W*R/(k1*S) in blu e Tmax = Tin in rosso. In questo caso, abbiamo ipotizzato che R/(k1*S) sia pari ad 1.

Rappresentazione delle curve Tmax = f(W) = Tin+ W*R/(k1*S) in blu e Tmax = Tin in rosso. In ascissa W, in ordinata Tmax. Per quanto riguarda Tmax = f(W), abbiamo ipotizzato che R/(k1*S) sia pari ad 1.

 

La potenza entrante nel forno (W). Andando a vedere la nostra pagina relativa alla radiazione solare, al capitoletto “LA POTENZA DISPONIBILE DAL SOLE: CALCOLO ESEMPLIFICATIVO” e più in particolare la tabella relativa ai solar irradiance data, si osserva come nei mesi estivi, è possibile assumere un valore della radiazione solare pari a circa 800 W/m2 nelle ore di maggior utilizzo del nostro forno, ovvero tra le 9 e le 14.

L’energia entrante nel forno dipenderà poi dal RENDIMENTO OTTICO del forno, che a sua volta dipende dall’ area di cattura del forno, dal coefficiente di trasmissione della copertura trasparente (es. vetro), dal coefficiente di riflessione dei pannelli riflettenti posti sopra alla copertura e, per finire, dall’inclinazione del forno rispetto ai raggi del sole.

Come si puoi dedurre a partire dal calcolo esemplificativo di Gianni Crovatto, a partire dagli 800 W ipotizzati, possiamo a livello indicativo assumere che la radiazione entrante nel forno potrà essere compresa fra i 77 W (superficie di 40 cm per 40 cm, doppio vetro, inclinazione non ottimale del forno rispetto ai raggi incidenti, assenza di riflettori) fino ad arrivare anche a 150 W (rispetto all’esempio di Gianni Crovatto, è sufficiente ipotizzare l’aggiunta di altri riflettori).

Ritornando al grafico di poco fa e nell’ipotesi che R/(k1*S) sia pari ad 1, notiamo che vi è sostanzialmente una proporzionalità diretta fra radiazione entrante nel forno W e la Tmax che possiamo ottenere. A questo proposito, diventa fondamentale cercare di aumentare l’energia entrante attraverso l’aggiunta di riflettori dotati di un buon coefficiente di riflessione.

Inoltre, si noti che l’aggiunta del doppio vetro, anche se diminuisce la radiazione entrante, aumenta il livello di isolamento del nostro forno (ovvero la resistenza termica R), in modo che, nel complesso, risulta preferibile aggiungerlo piuttosto che lavorare con un vetro singolo. Al proposito, ancora una volta, Gianni Crovatto nel suo esempio ci dimostra dati alla mano il perché.

Il fattore R/(k1*S). Se ricorderete quello che abbiamo detto più sopra, R e S rappresentano rispettivamente la resistenza termica complessiva del nostro forno e la superficie complessiva dello stesso. In altre parole, la resistenza complessiva R è il risultato della resistenza delle pareti, della resistenza della base e della resistenza della copertura in materiale trasparente. In maniera analoga, S è la superficie data dalla somma delle superfici dei medesimi elementi. Per capire come sia possibile giocare su questi parametri in modo da ottimizzare le prestazioni del nostro forno, dobbiamo considerare che la resistenza R è pari al rapporto d/λ, dove d rappresenta lo spessore del materiale considerato, mentre λ rappresenta la conducibilità termica del materiale stesso. Come è possibile constatare dalla tabella riportata su wikipedia (riteniamo l’articolo di wikipedia attendibile, ma se non vi fidate, potete recuperare informazioni analoghe presso siti istituzionali o professionali), l’aria e il cartone ondulato rappresentano materiali ideali per isolare il nostro forno.

Ancora una volta, se prendiamo come esempio il calcolo condotto da Gianni Crovatto, è facile notare come il fattore R/(k1*S) tipicamente si aggiri attorno all’unità e ciò giustifica il grafico che abbiamo fatto prima.

Ma supponiamo di voler aumentare le prestazioni del nostro forno. Dove possiamo intervenire?

Da una parte, potremmo ridurre il valore di S, ad esempio diminuendo la superficie della base e inclinare di conseguenza verso l’interno le pareti laterali.

Dall’altra, potremmo puntare ad aumentare R. Qui, apparentemente, l’unico limite è lo spazio a disposizione. In teoria, potremmo avvolgere la nostra scatola attorno ad un rivestimento isolante lungo a piacere e il nostro forno potrebbe raggiungere temperature molto elevate.

In realtà, questo giochetto ha un suo limite come si può capire in modo molto intuitivo con l’esempio seguente.

L’energia uscente dal nostro forno può essere comparata al flusso di acqua in un circuito idraulico: è come se avessimo un rubinetto dentro al forno, che fa passare l’acqua attraverso due tubi, uno rappresentato dalle pareti laterali e dal fondo, uno rappresentato dal vetro di copertura. Noi potremo aumentare a piacere la resistenza di pareti laterali e fondo, ovverosia potremo ridurre la sezione del primo dei due tubi, di modo che vi passerà sempre meno acqua, ma rimarrà sempre l’altro tubo, per il quale abbiamo solo poche opzioni per la scelta della sezione (preferibilmente, solo “vetro singolo” o “doppio vetro”) . Al limite, potremmo decidere di tappare il primo tubo (resistenza infinita per le pareti e del fondo) e a quel punto tutta l’acqua passerà per il vetro. In altre parole, il limite superiore alla resistenza complessiva del nostro forno è dato dalla resistenza del vetro di copertura.

Potremmo ribadire il ragionamento facendo riferimento alla teoria elettrotecnica e ci renderemo conto allora che le due resistenze di cui abbiamo parlato, i due tubi insomma, equivalgono a due resistenze in parallelo, per cui, facendo tendere una delle due all’infinito, la resistenza complessiva risulterà pari alla resistenza del tubo meno resistente (scusate il gioco di parole). Al proposito, e recuperando l’esempio di calcolo di Gianni Crovatto, possiamo constatare che un vetro singolo ha una resistenza che si aggira attorno al valore di 0,75, mentre il doppio vetro può superare il valore di 1,5 (resistenze in serie si sommano).

Prima di tornare a parlare della superficie complessiva S, che abbiamo lasciato da parte, c’è ancora una cosa molto interessante da dire sulla resistenza complessiva, che, come abbiamo appena visto, è data dal parallelo di due resistenze. Recuperando il link di riferimento alla teoria elettrotecnica di cui sopra, si evince come, nel caso di due resistenze in parallelo, la relazione fra la resistenza equivalente parallelo e le singole resistenze in parallelo è espressa da un’iperbole equilatera:

R// = Rscatola*Rvetro/(Rscatola+Rvetro)

Anzitutto, vediamo appunto che facendo tendere la Rscatola all’infinito, la R// sarà pari alla Rvetro. Inoltre, se assumiamo la Rvetro pari a circa 1,5, notiamo che la iperbole equilatera che otteniamo è centrata nel punto O (-1,5;1,5) e, cosa ancora più interessante, se ci accontentiamo di avvicinarci al valore massimo di 1,5 senza per forza raggiungerlo, è sufficiente che la Rscatola sia 4 o 5 volte più grande della Rvetro per raggiungere valori elevati di R//. Tutto questo grazie alla ripidità della curva.

Grafico dell'iperbole equilatera y = 1,5*x/(1,5+x). Uno degli asintoti orizzontali è a y=1,5, che è appunto il valore che abbiamo assunto per Rvetro.

Grafico dell’iperbole equilatera y = 1,5*x/(1,5+x). Si noti come uno degli asintoti orizzontali si abbia per y=1,5, che è appunto il valore che abbiamo assunto per Rvetro.

Grafico dell'iperbole equilatera y = 1,5*x/(1,5+x), particolare per x che va da 1 a 15 e y che va da 0 a circa 1,35. Già per x=7, la curva ha superato il valore di y=1,2.

Grafico dell’iperbole equilatera y = 1,5*x/(1,5+x), particolare per x che va da 1 a 15 e y che va da 0 a circa 1,35. Si noti che già per x=7, la curva ha superato il valore di y=1,2.

Bene, siamo quasi arrivati alla conclusione del nostro percorso ragionato sulla ottimizzazione della temperatura massima.

Facciamo ancora un piccolo sforzo e il risultato sarà soddisfacente.

Forno a scatola con pareti laterali a trapezio.

Forno a scatola con pareti laterali a trapezio.

Avevamo lasciato da parte il ragionamento sulla superficie complessiva S della scatola. Al proposito, se vogliamo aumentare la temperatura massima, possiamo giocare sulla superficie di apertura, a patto di non togliere i riflettori sopra la scatola. La spiegazione della cosa la trovate qui. In aggiunta, possiamo anche pensare di diminuire la superficie della parte restante della scatola. L’esempio più pratico e immediato che ci è venuto in mente è quello di ridurre l’area della base, come nell’immagine a fianco. Ancora una volta, se prendiamo a riferimento l’esempio di calcolo di Gianni Crovatto, troveremo che dato un forno a scatola le cui quattro pareti laterali hanno dimensione 40 cm x 19 cm, base 40 cm per 40 cm e superficie pareti più base pari a 0,464 cm2

se portiamo la base ad una dimensione di 0,25 cm per 0,25 cm (ancora accettabile per le pentole che vogliamo impiegare), otteniamo una superficie di pareti più base pari a 0,3095.

Finalmente, proviamo allora a vedere che valori possa assumere il fattore R/(k1*S), considerando due casi.

(1) Nel primo di questi, facciamo riferimento al caso di doppio vetro di cui alla tabella n° 3 dell’esempio di calcolo di Gianni Crovatto (ormai lo conoscerete a memoria).

Abbiamo allora R = 0,77688, k1 = 1,162, S = 0,624 (abbiamo aggiunto anche la superficie del vetro di copertura). Quindi R/(k1*S) = 1,07

(2) Nel secondo caso, ipotizziamo di aver aumentato molto la resistenza di pareti e fondo, mettendo la nostra scatola all’interno di uno scatolone grande pieno di altre pareti di cartone ondulato, separate da intercapedini d’aria, tanto che la resistenza risultante è superiore di 4 o 5 volte rispetto a quella del vetro (spessore aggiuntivo di circa 20 cm). Abbiamo allora che R = 1,2.

Supponiamo poi di aver portato la superficie S di cui sopra a 0,4695. Ne consegie che R/(k1*S)=2,2.

Interessante no? Abbiamo aumentato di quasi 2 volte il nostro fattore R/(k1*S)!

Cosa significa tutto ciò? Significa che il nostro forno sarà molto più efficiente in termini di temperatura massima, come ci spiega bene il grafico seguente:

Curva di Tmax=Tin+W*R/(k1*S) per R/(k1*S) pari a 1,2 (curva blu) e R/(k1*S) pari a 2,82 (curva rossa).

Curva di Tmax=Tin+W*R/(k1*S) per R/(k1*S) pari a 1,2 (curva blu) e R/(k1*S) pari a 2,2 (curva rossa). Si noti come aumenti considerevolmente la pendenza della curva all’aumentare del fattore moltiplicativo di W e di conseguenza di come si possano raggiungere temperature massime molto più elevate.

 

Riuscire ad ottenere un valore di 2,2 per il fattore moltiplicativo di W non è scontato, però ipotizzando di riuscirci, otterremmo che già con 100 W in ingresso, facilmente raggiungibili in estate e con l’aggiunta di pannelli riflettenti, potremo teoricamente raggiungere i 245° C!!

Una testimonianza della fattibilità della cosa è data dal forno di Maria Telkes, noto come il “Telkes design”, che è in grado di raggiungere la temperatura di 225° C.

Si tenga presente al proposito che alcuni cartoni iniziano a bruciare già a 160° C e questo determinerà le nostre scelte sul materiale da usare e sui tipi di cottura ammissibili nel nostro forno. Infatti, se ci poniamo come obiettivo quello di riscaldare l’acqua, osserveremo che dentro al forno non si supereranno i 100 ° C, almeno fintanto che non la trasformeremo tutta in vapore.

ALCUNI CALCOLI UTILI – IL TEMPO PER RAGGIUNGERE LA TEMPERATURA MASSIMA

Non preoccupatevi, per studiare la dinamica con cui un forno si riscalda, cercheremo di non farvela lunga come abbiamo fatto sopra con la temperatura massima.

Ricordate più sopra che vi abbiamo detto che il tempo per raggiungere la temperatura massima segue una dinamica esponenziale?

Questo significa che la temperatura crescerà molto rapidamente all’inizio, avvicinandosi alla temperatura massima, per poi crescere piano piano tendendo alla temperatura massima appunto.

In particolare, si può dimostrare che la nostra curva esponenziale ha una

costante di tempo τ data da

τ = R*M*Cp/Ac

dove

R = resistenza termica complessiva del forno (che abbiamo già avuto modo di conoscere)

M = massa complessiva dei corpi riscaldati dentro al forno (aria, cibo, pentola)

Cp = calore specifico equivalente della massa complessiva

Ac = S = superficie complessiva del forno (abbiamo usato Ac per rimanere in linea con il testo di Ed Pejack)

Si può dimostrare che, dopo un valore pari a 3*τ, la nostra curva ha raggiunto il 95% del suo valore massimo.

Allora, riprendendo i dati relativi al forno di cui all’esempio di calcolo di Gianni Crovatto, avremo che, dati

R = 1,02  °K* h/kcal;

M = V*d (densità aria, assunta paria a 1,165 kg/m3) = 0,035416 kg;

Cp = 1005  [J/(Kg*K)] (calore specifico aria), pari a 1005 [W/(Kg*K)

Ac= S = 0,624 m3;

k1 = 1,162, trasforma kcal/h in W

si otterrà

τ = R*M*Cp/(k1*Ac) = 50 (secondi)

Ciò significa che, in assenza di disturbi esterni, come una improvvisa copertura nuvolosa che riduce la radiazione solare entrante, o la presenza di vento che riduce la temperatura ambiente percepita, sono sufficienti due minuti e mezzo per avvicinarsi alla temperatura massima del nostro forno.

Ovviamente, come ci mostra anche Ed Pejack a pagina 13 del suo lavoro, se decidiamo di avere una R più bassa e ci accontentiamo di avere una temperatura massima inferiore, potremo raggiungerla in un tempo minore.